北京信息科技大学

2021 年硕士研究生入学考试初试自命题科目考试大纲

考试科目名称：高等代数（含解析几何）

考试科目代码：814

一、 考试基本要求及适用范围概述

要求考生比较系统地熟悉高等代数（含解析几何）的

基本概念、掌握基本理论和方法。要求考生具有抽象思维

能力、逻辑推理能力、有较强的运算能力和综合运用所学

的知识分析问题和解决问题的能力。

本考试大纲适用于数学一级学科硕士研究生招生入

学考试初试。

二、 题型结构

试卷满分为 150 分，题型包含选择题、填空题、计算

题和证明题，其中解析几何占 15 分左右。

三、 考试内容

1. 多项式：一元多项式运算法则；带余除法定理，最

大公因式概念及求法(辗转相除法)；不可约多项式概念和

因式分解唯一性定理；重因式、余数定理，零点(根)定理；

复/实系数多项式的因式分解定理；有理系数多项式、整系

1数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系，整系数

多项式的有理根的求法，Eisenstein 判别法。

2. 行列式：排列及对换的概念，排列奇偶性的概念及

判定；行列式的定义、性质及计算方法；行列式按一行（列）

展开，代数余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩阵

的定义和初等行、列变换，矩阵与行列式的区别；克拉默

(Cramer)法则及应用。

3. 线性方程组：线性方程组的高斯(Gauss)消元法；

向量空间、线性相关、线性无关的概念与性质；矩阵的 k

级子式，矩阵秩的定义、性质及求法，向量组的极大线性

无关组的求法；线性方程组有解的判定、线性方程组解的

结构。

4. 矩阵：矩阵的基本运算，矩阵乘积的行列式与秩；

矩阵的逆的定义、性质及求法；矩阵分块的概念和分块矩

阵的运算，初等矩阵、初等变换与矩阵的秩，分块乘法的

初等变换及应用。

5. 二次型：二次型的矩阵表示，矩阵的合同关系，对

称矩阵的概念和性质；用非退化线性变换化二次型为标准

形，实、复二次型的规范型，惯性定理与惯性指数；正定、

半正定二次型的概念、性质及判别方法。

6. 线性空间：集合、映射的定义与运算性质；线性空

间的定义与简单性质；维数、基与坐标的概念和性质，基

变换与坐标变换；线性子空间的概念和性质，子空间的交

2与和的概念及性质，子空间的直和的定义及判别准则；线

性空间的同构，同构映射的概念和性质。

7. 线性变换：线性变换的定义、运算及其简单性质；

线性变换的矩阵及其性质；矩阵的相似关系的定义及其性

质；特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算；

线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件（即矩阵

相似于对角矩阵的条件）；线性变换的值域与核的概念及

性质；不变子空间的概念，不变子空间与线性变换矩阵化

简之间的关系；若当（Jordan）标准形的概念及应用；最

小多项式的概念和性质及求法。

8. λ-矩阵：λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换；λ-

矩阵在初等变换下的标准形；行列式因子、不变因子和初

等因子的定义、性质及求法；矩阵相似的条件；复矩阵若

当（Jordan）标准形的计算。

9. 欧几里得空间：欧几里得空间（含内积）的定义与

基本性质；欧几里得空间中基的度量矩阵，正交向量组、

正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系，施密

特正交化方法；欧几里得空间的同构；正交变换、正交矩

阵的定义和性质；子空间的正交关系；对称变换、实对称

矩阵的性质及其标准形的求法。

10. 解析几何： 向量的线性关系；向量的内积、外积

和混合积；二重外积的计算及相关理论；平面和直线的各

种方程的建立及其相互关系，以及度量关系；了解图形与

3方程，柱面、锥面、旋转面方程的建立；二次曲面的方程

及其图形。

四、 参考书目

1. 北京大学数学系前代数小组编，王萼芳，石生明修

订，高等代数(第五版)，高等教育出版社，2019 年 5 月。

2.谢冬秀，《解析几何》，科学出版社，2009。

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